网站开发技术有wordpress主题删不掉

网站开发技术有,wordpress主题删不掉,要建设网站,域名和网站建设费如何入帐微分方程的基本概念 常微分方程 含有未知函数导数的方程称为微分方程. 其中#xff0c;如果未知函数为一元函数#xff0c;则称该方程为常微分方程.\begin{aligned} \text{含有未知函数导数的方程称为微分方程. 其中#xff0c;如果未知函数为一元函数#xff0c;}\\如果未知函数为一元函数则称该方程为常微分方程.\begin{aligned} \text{含有未知函数导数的方程称为微分方程. 其中如果未知函数为一元函数}\\则称该方程为常微分方程. \end{aligned}​含有未知函数导数的方程称为微分方程.其中如果未知函数为一元函数则称该方程为常微分方程.​微分方程的阶常微分方程的一般形式为 F(x,y,y′,y′′,…,y(n))0.其中未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶. 求解微分方程的目的是要找出这样的函数 yφ(x)把它代入微分方程后方程 F(x,φ(x),φ′(x),φ′′(x),…φ(n)(x))≡0 成为恒等式. \begin{aligned} \text{常微分方程的一般形式为} \ F(x,y,y,y,\dots,y^{(n)}) 0. \text{其中未知函数的最高阶导数的} \\ \text{阶数称为微分方程的阶. 求解微分方程的目的是要找出这样的函数} \ y \varphi(x)\text{把它代入} \\ \text{微分方程后方程} \ F(x,\varphi(x),\varphi(x),\varphi(x),\dots\varphi^{(n)}(x)) \equiv 0 \ \text{成为恒等式.} \end{aligned}​常微分方程的一般形式为F(x,y,y′,y′′,…,y(n))0.其中未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶.求解微分方程的目的是要找出这样的函数yφ(x)把它代入微分方程后方程F(x,φ(x),φ′(x),φ′′(x),…φ(n)(x))≡0成为恒等式.​通解和特解如果微分方程的解中含有任意常数并且任意常数的个数等于微分方程的阶数这样的解称为微分方程的通解. 确定了通解中的任意常数之后就得到微分方程的特解.如果微分方程是一阶的则确定通解中任意常数的初始条件一般是 y(x0)y0如果微分方程是二阶的则确定通解中任意常数的初始条件一般是y(x0)y0, y′(x0)y0′. \begin{aligned} \text{如果微分方程的解中含有任意常数并且任意常数的个数等于微分方程的阶数这} \\ \text{样的解称为微分方程的通解. 确定了通解中的任意常数之后就得到微分方程的特解.} \\ \\ \text{如果微分方程是一阶的则确定通解中任意常数的初始条件一般是} \ y(x_0) y_0 \\ \text{如果微分方程是二阶的则确定通解中任意常数的初始条件一般是} \\ \quad y(x_0) y_0, \, y(x_0) y_0. \end{aligned}​如果微分方程的解中含有任意常数并且任意常数的个数等于微分方程的阶数这样的解称为微分方程的通解.确定了通解中的任意常数之后就得到微分方程的特解.如果微分方程是一阶的则确定通解中任意常数的初始条件一般是y(x0​)y0​如果微分方程是二阶的则确定通解中任意常数的初始条件一般是y(x0​)y0​,y′(x0​)y0′​.​常见的一阶微分方程可分离变量的微分方程如果一个一阶微分方程可以写成 g(y)dyf(x)dx 的形式则称该微分方程为可分离变量的微分方程.求解方法对该方程的两端求不定积分 ∫g(y)dy∫f(x)dx 就得到微分方程的通解. \begin{aligned} \text{如果一个一阶微分方程可以写成} \ g(y)dy f(x)dx \ \text{的形式则称该微分方程为可分} \\ \text{离变量的微分方程.} \\ \\ \text{求解方法对该方程的两端求不定积分} \ \int g(y)dy \int f(x)dx \ \text{就得到微分方程的通解.} \end{aligned}​如果一个一阶微分方程可以写成g(y)dyf(x)dx的形式则称该微分方程为可分离变量的微分方程.求解方法对该方程的两端求不定积分∫g(y)dy∫f(x)dx就得到微分方程的通解.​齐次方程求解方法对于方程 y′φ(yx)令uyx则 yux.由一元函数微分学的知识可知 dyxduudx.代入原方程可得 xdudxuφ(u)整理得 duφ(u)−udxx则原方程就化为可分离变量的方程求解该方程得到未知函数 u再由 yux 就可以得到未知函数 y. \begin{aligned} \text{求解方法对于方程} \ y \varphi\left( \frac{y}{x} \right)\text{令} u \frac{y}{x}\text{则} \ y ux . \text{由一元函数微分学的知识可} \\ \text{知} \ dy xdu udx . \text{代入原方程可得} \ x\frac{du}{dx} u \varphi(u)\text{整理得} \ \frac{du}{\varphi(u)-u} \frac{dx}{x}\text{则原方程} \\ \text{就化为可分离变量的方程求解该方程得到未知函数} \ u\text{再由} \ y ux \ \text{就可以得到未知} \\ \text{函数} \ y . \end{aligned}​求解方法对于方程y′φ(xy​)令uxy​则yux.由一元函数微分学的知识可知dyxduudx.代入原方程可得xdxdu​uφ(u)整理得φ(u)−udu​xdx​则原方程就化为可分离变量的方程求解该方程得到未知函数u再由yux就可以得到未知函数y.​一阶线性微分方程方程 dydxP(x)yQ(x) 称为一阶线性微分方程.求解方法法一两边同时乘以 e∫P(x)dx得 e∫P(x)dxy′e∫P(x)dxP(x)ye∫P(x)dxQ(x)其中e∫P(x)dxy′e∫P(x)dxP(x)y(e∫P(x)dxy)′则 ye−∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdxC].法二直接代通解公式 ye−∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdxC]. \begin{aligned} \text{方程} \ \frac{dy}{dx} P(x)y Q(x) \ \text{称为一阶线性微分方程.} \\ \\ \text{求解方法} \\ \text{法一两边同时乘以} \ e^{\int P(x)dx}\text{得} \ e^{\int P(x)dx} y e^{\int P(x)dx} P(x)y e^{\int P(x)dx} Q(x)\text{其中} \\ \quad e^{\int P(x)dx} y e^{\int P(x)dx} P(x)y \left( e^{\int P(x)dx} y \right)\text{则} \ y e^{-\int P(x)dx} \left[ \int Q(x)e^{\int P(x)dx} dx C \right]. \\ \\ \text{法二直接代通解公式} \ y e^{-\int P(x)dx} \left[ \int Q(x)e^{\int P(x)dx} dx C \right]. \end{aligned}​方程dxdy​P(x)yQ(x)称为一阶线性微分方程.求解方法法一两边同时乘以e∫P(x)dx得e∫P(x)dxy′e∫P(x)dxP(x)ye∫P(x)dxQ(x)其中e∫P(x)dxy′e∫P(x)dxP(x)y(e∫P(x)dxy)′则ye−∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdxC].法二直接代通解公式ye−∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdxC].​伯努利方程方程 y′P(x)yQ(x)yn,(n≠0,1) 称为伯努利方程.求解方法对于伯努利方程 y′P(x)yQ(x)yn,(n≠0,1)通过变量代换化为一阶线性微分方程. 在方程两端同时除以 yn 得 y−ny′P(x)y1−nQ(x)令 zy1−n 可得z′1−nP(x)zQ(x)即为一阶线性微分方程. \begin{aligned} \text{方程} \ y P(x)y Q(x)y^n,(n \neq 0,1) \ \text{称为伯努利方程.} \\ \\ \text{求解方法} \\ \text{对于伯努利方程} \ y P(x)y Q(x)y^n,(n \neq 0,1)\text{通过变量代换化为一阶线性微分} \\ \text{方程. 在方程两端同时除以} \ y^n \ \text{得} \ y^{-n}y P(x)y^{1-n} Q(x)\text{令} \ z y^{1-n} \ \text{可得} \\ \quad \frac{z}{1-n} P(x)z Q(x)\text{即为一阶线性微分方程.} \end{aligned}​方程y′P(x)yQ(x)yn,(n0,1)称为伯努利方程.求解方法对于伯努利方程y′P(x)yQ(x)yn,(n0,1)通过变量代换化为一阶线性微分方程.在方程两端同时除以yn得y−ny′P(x)y1−nQ(x)令zy1−n可得1−nz′​P(x)zQ(x)即为一阶线性微分方程.​常见的高阶微分方程二阶线性微分方程基本概念形如y′′P(x)y′Q(x)yf(x)的微分方程称为二阶线性微分方程. 当 f(x)≡0 时即y′′P(x)y′Q(x)y0称为二阶齐次线性微分方程否则称为二阶非齐次线性微分方程.二阶线性微分方程的求解主要考查 P(x),Q(x) 恒为常数的情形即二阶常系数线性微分方程相应的齐次方程称为二阶常系数齐次线性微分方程. 二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为y′′py′qy0. \begin{aligned} \text{形如} \\ \quad \quad y P(x)y Q(x)y f(x) \\ \text{的微分方程称为二阶线性微分方程. 当} \ f(x) \equiv 0 \ \text{时即} \\ \quad \quad y P(x)y Q(x)y 0 \\ \text{称为二阶齐次线性微分方程否则称为二阶非齐次线性微分方程.} \\ \text{二阶线性微分方程的求解主要考查} \ P(x),Q(x) \ \text{恒为常数的情形即二阶常系数线性微分方程相应的齐次方程} \\ \text{称为二阶常系数齐次线性微分方程. 二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为} \\ \quad \quad y py qy 0. \end{aligned}​形如y′′P(x)y′Q(x)yf(x)的微分方程称为二阶线性微分方程.当f(x)≡0时即y′′P(x)y′Q(x)y0称为二阶齐次线性微分方程否则称为二阶非齐次线性微分方程.二阶线性微分方程的求解主要考查P(x),Q(x)恒为常数的情形即二阶常系数线性微分方程相应的齐次方程称为二阶常系数齐次线性微分方程.二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为y′′py′qy0.​二阶线性微分方程解的结构定理定理1若 y1(x) 为方程2的解则 ky1(x) 亦为其解若 y1(x),y2(x) 均为2的解则 yy1(x)y2(x) 亦为其解进而 yk1y1(x)k2y2(x) 亦为其解.定理2若 y1(x) 为方程1的解 y2(x) 为2的解则 yy1(x)y2(x) 为1的解. 若 y1(x),y2(x) 均为1的解则 yy1(x)−y2(x) 是2的解.定理3叠加原理设 y1(x) 是方程 y′′P(x)y′Q(x)yf1(x) 的特解 y2(x) 是方程 y′′P(x)y′Q(x)yf2(x) 的特解则 yk1y1(x)k2y2(x) 是方程y′′P(x)y′Q(x)yk1f1(x)k2f2(x) 的解.定理4设 y1(x),y2(x) 是方程2的两个线性无关的解则 C1y1C2y2 为2的通解若还有 y∗(x) 是1的任一特解则 yC1y1(x)C2y2(x)y∗(x) 是(1)的通解其中 C1,C2 为两个任意的常数.【注】非齐通 齐通 非齐特. \begin{aligned} \text{定理1若} \ y_1(x) \ \text{为方程2的解则} \ ky_1(x) \ \text{亦为其解若} \ y_1(x),y_2(x) \ \text{均为2的解} \\ \text{则} \ y y_1(x)y_2(x) \ \text{亦为其解进而} \ y k_1y_1(x)k_2y_2(x) \ \text{亦为其解.} \\ \\ \text{定理2若} \ y_1(x) \ \text{为方程1的解} \ y_2(x) \ \text{为2的解则} \ y y_1(x)y_2(x) \ \text{为1} \\ \text{的解. 若} \ y_1(x),y_2(x) \ \text{均为1的解则} \ y y_1(x)-y_2(x) \ \text{是2的解.} \\ \\ \text{定理3叠加原理设} \ y_1(x) \ \text{是方程} \ yP(x)yQ(x)y f_1(x) \ \text{的特解} \ y_2(x) \ \text{是方} \\ \text{程} \ yP(x)yQ(x)y f_2(x) \ \text{的特解则} \ y k_1y_1(x)k_2y_2(x) \ \text{是方程} \\ \quad yP(x)yQ(x)y k_1f_1(x)k_2f_2(x) \ \text{的解.} \\ \\ \text{定理4设} \ y_1(x),y_2(x) \ \text{是方程2的两个线性无关的解则} \ C_1y_1C_2y_2 \ \text{为2的通} \\ \text{解若还有} \ y^*(x) \ \text{是1的任一特解则} \ y C_1y_1(x)C_2y_2(x)y^*(x) \ \text{是(1)的通解} \\ \text{其中} \ C_1,C_2 \ \text{为两个任意的常数.} \\ \\ \text{【注】非齐通 齐通 非齐特.} \end{aligned}​定理1若y1​(x)为方程2的解则ky1​(x)亦为其解若y1​(x),y2​(x)均为2的解则yy1​(x)y2​(x)亦为其解进而yk1​y1​(x)k2​y2​(x)亦为其解.定理2若y1​(x)为方程1的解y2​(x)为2的解则yy1​(x)y2​(x)为1的解.若y1​(x),y2​(x)均为1的解则yy1​(x)−y2​(x)是2的解.定理3叠加原理设y1​(x)是方程y′′P(x)y′Q(x)yf1​(x)的特解y2​(x)是方程y′′P(x)y′Q(x)yf2​(x)的特解则yk1​y1​(x)k2​y2​(x)是方程y′′P(x)y′Q(x)yk1​f1​(x)k2​f2​(x)的解.定理4设y1​(x),y2​(x)是方程2的两个线性无关的解则C1​y1​C2​y2​为2的通解若还有y∗(x)是1的任一特解则yC1​y1​(x)C2​y2​(x)y∗(x)是(1)的通解其中C1​,C2​为两个任意的常数.【注】非齐通齐通非齐特.​求解二阶常系数齐次线性微分方程的一般步骤二阶以上类似a. 写出 y′′py′qy0 对应的特征方程 r2prq0.b. 求出特征方程的两个根 r1,r2.c. 根据 r1,r2 的不同形式我们有如下的公式 \begin{aligned} \text{a. 写出} \ y py qy 0 \ \text{对应的特征方程} \ r^2 pr q 0. \\ \\ \text{b. 求出特征方程的两个根} \ r_1,r_2. \\ \\ \text{c. 根据} \ r_1,r_2 \ \text{的不同形式我们有如下的公式} \end{aligned}​a.写出y′′py′qy0对应的特征方程r2prq0.b.求出特征方程的两个根r1​,r2​.c.根据r1​,r2​的不同形式我们有如下的公式​r2prq0的两个根 r1,r2微分方程 y′′py′qy0的通解r1,r2为两个不同实根yC1er1xC2er2xr1,r2为两个相同实根y(C1C2x)er1xr1,r2为一对共轭虚根 α±iβy(C1cos⁡βxC2sin⁡βx)eαx \begin{array}{|l|l|} \hline r^2 pr q 0 \text{的两个根} \ r_1,r_2 \text{微分方程} \ y py qy 0 \text{的通解} \\ \hline r_1,r_2 \text{为两个不同实根} y C_1e^{r_1x} C_2e^{r_2x} \\ \hline r_1,r_2 \text{为两个相同实根} y (C_1 C_2x)e^{r_1x} \\ \hline \hline r_1,r_2 \text{为一对共轭虚根} \ \alpha \pm i\beta y (C_1\cos\beta x C_2\sin\beta x)e^{\alpha x} \\ \hline \end{array}r2prq0的两个根r1​,r2​r1​,r2​为两个不同实根r1​,r2​为两个相同实根r1​,r2​为一对共轭虚根α±iβ​微分方程y′′py′qy0的通解yC1​er1​xC2​er2​xy(C1​C2​x)er1​xy(C1​cosβxC2​sinβx)eαx​​求解二阶常系数非齐次线性微分方程的一般步骤二阶以上类似先求出相应齐次方程的通解 C1y1(x)C2y2(x),再求出非齐次线性方程的一个特解y∗(x)则非齐次线性方程的通解可表示为 C1y1(x)C2y2(x)y∗(x).求非齐次线性方程特解主要用到如下的待定系数法根据 f(x) 的不同形式我们可以分别设方程的特解为如下形式再代回原方程得到所设特解中各项系数的值.①若 f(x)eλxPm(x) (其中 Pm(x) 为 m 阶多项式)令 y∗xkQm(x)eλx其中 k 为特征根 λ 的重数.② f(x)eαx[Pl(1)(x)cos⁡βxPn(2)(x)sin⁡βx]令 y∗xkeαx[Rm(1)(x)cos⁡βxRm(2)(x)sin⁡βx], mmax⁡{l,n}如果特征根为 α±iβ则 k 为1否则 k 为0. \begin{aligned} \text{先求出相应齐次方程的通解} \ C_1y_1(x)C_2y_2(x), \text{再求出非齐次线性方程的一个特解} \\ y^*(x)\text{则非齐次线性方程的通解可表示为} \ C_1y_1(x)C_2y_2(x)y^*(x). \\ \\ \text{求非齐次线性方程特解主要用到如下的待定系数法根据} \ f(x) \ \text{的不同形式我们} \\ \text{可以分别设方程的特解为如下形式再代回原方程得到所设特解中各项系数的值.} \\ \\ ① \text{若} \ f(x)e^{\lambda x}P_m(x) \ (\text{其中} \ P_m(x) \ \text{为} \ m \ \text{阶多项式}) \\ \quad \text{令} \ y^* x^k Q_m(x)e^{\lambda x}\text{其中} \ k \ \text{为特征根} \ \lambda \ \text{的重数.} \\ \\ ② \ f(x)e^{\alpha x}\left[ P_l^{(1)}(x)\cos\beta xP_n^{(2)}(x)\sin\beta x \right] \\ \quad \text{令} \ y^* x^k e^{\alpha x}\left[ R_m^{(1)}(x)\cos\beta xR_m^{(2)}(x)\sin\beta x \right], \ m \max\{l,n\} \\ \quad \text{如果特征根为} \ \alpha \pm i\beta则 \ k \ \text{为1否则} \ k \ \text{为0.} \end{aligned}​先求出相应齐次方程的通解C1​y1​(x)C2​y2​(x),再求出非齐次线性方程的一个特解y∗(x)则非齐次线性方程的通解可表示为C1​y1​(x)C2​y2​(x)y∗(x).求非齐次线性方程特解主要用到如下的待定系数法根据f(x)的不同形式我们可以分别设方程的特解为如下形式再代回原方程得到所设特解中各项系数的值.①若f(x)eλxPm​(x)(其中Pm​(x)为m阶多项式)令y∗xkQm​(x)eλx其中k为特征根λ的重数.②f(x)eαx[Pl(1)​(x)cosβxPn(2)​(x)sinβx]令y∗xkeαx[Rm(1)​(x)cosβxRm(2)​(x)sinβx],mmax{l,n}如果特征根为α±iβ则k为1否则k为0.​可降阶的高阶微分方程1 y′′f(x,y′) 型的方程作变量代换 py′则有 y′′dpdx.代入原方程有 dpdxf(x,p)这是一个关于变量 x,p 的一阶微分方程. 求解它我们可以求出 p设 py′φ(x,C)则积分可以得到 y. \begin{aligned} \text{1} \ y f(x,y) \ \text{型的方程} \\ \\ \text{作变量代换} \ p y\text{则有} \ y \frac{dp}{dx}. \text{代入原方程有} \ \frac{dp}{dx} f(x,p)\text{这是一个关于变} \\ \text{量} \ x,p \ \text{的一阶微分方程. 求解它我们可以求出} \ p\text{设} \ p y \varphi(x,C)\text{则积分可以} \\ \text{得到} \ y. \end{aligned}​1y′′f(x,y′)型的方程作变量代换py′则有y′′dxdp​.代入原方程有dxdp​f(x,p)这是一个关于变量x,p的一阶微分方程.求解它我们可以求出p设py′φ(x,C)则积分可以得到y.​2 y′′f(y,y′) 型的方程作变量代换 py′则有 y′′dpdxdpdy⋅dydxdpdy⋅p.代入原方程有 pdpdyf(y,p).这是一个关于变量 y,p 的一阶微分方程. 求解它可以求出 p设 py′φ(y,C)则积分可以得到 y. \begin{aligned} \text{2} \ y f(y,y) \ \text{型的方程} \\ \\ \text{作变量代换} \ p y\text{则有} \ y \frac{dp}{dx} \frac{dp}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} \frac{dp}{dy} \cdot p. \text{代入原方程有} \ p \frac{dp}{dy} f(y,p). \\ \\ \text{这是一个关于变量} \ y,p \ \text{的一阶微分方程. 求解它可以求出} \ p\text{设} \ p y \varphi(y,C) \\ \text{则积分可以得到} \ y. \end{aligned}​2y′′f(y,y′)型的方程作变量代换py′则有y′′dxdp​dydp​⋅dxdy​dydp​⋅p.代入原方程有pdydp​f(y,p).这是一个关于变量y,p的一阶微分方程.求解它可以求出p设py′φ(y,C)则积分可以得到y.​欧拉方程形如 xny(n)a1xn−1y(n−1)a2xn−2y(n−2)⋯an−1xy′anyf(x) 的方程称为欧拉方程. 其求解步骤为若 x0令 xet则有 dydxdydt⋅dtdxe−tdydt1xdydtd2ydx2ddx[e−tdydt]ddt[e−tdydt]⋅dtdx[e−td2ydt2−e−tdydt]e−te−2td2ydt2−e−2tdydt1x2(d2ydt2−dydt)以此类推将这些关系代回则原方程可化为 n 阶常系数线性微分方程.若 x0则令 x−et类似可做. \begin{aligned} \text{形如} \ x^n y^{(n)} a_1x^{n-1}y^{(n-1)} a_2x^{n-2}y^{(n-2)} \dots a_{n-1}xy a_n y f(x) \ \text{的方程称为欧拉} \\ \text{方程. 其求解步骤为若} \ x0\text{令} \ x e^t\text{则有} \ \frac{dy}{dx} \frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx} e^{-t}\frac{dy}{dt} \frac{1}{x}\frac{dy}{dt} \\ \quad \frac{d^2y}{dx^2} \frac{d}{dx}\left[ e^{-t}\frac{dy}{dt} \right] \frac{d}{dt}\left[ e^{-t}\frac{dy}{dt} \right]\cdot\frac{dt}{dx} \left[ e^{-t}\frac{d^2y}{dt^2} - e^{-t}\frac{dy}{dt} \right]e^{-t} e^{-2t}\frac{d^2y}{dt^2} - e^{-2t}\frac{dy}{dt} \frac{1}{x^2}\left( \frac{d^2y}{dt^2} - \frac{dy}{dt} \right) \\ \text{以此类推将这些关系代回则原方程可化为} \ n \ \text{阶常系数线性微分方程.} \\ \\ \text{若} \ x0\text{则令} \ x -e^t\text{类似可做.} \end{aligned}​形如xny(n)a1​xn−1y(n−1)a2​xn−2y(n−2)⋯an−1​xy′an​yf(x)的方程称为欧拉方程.其求解步骤为若x0令xet则有dxdy​dtdy​⋅dxdt​e−tdtdy​x1​dtdy​dx2d2y​dxd​[e−tdtdy​]dtd​[e−tdtdy​]⋅dxdt​[e−tdt2d2y​−e−tdtdy​]e−te−2tdt2d2y​−e−2tdtdy​x21​(dt2d2y​−dtdy​)以此类推将这些关系代回则原方程可化为n阶常系数线性微分方程.若x0则令x−et类似可做.​差分方程1.一阶常系数线性齐次差分方程 yt1ayt0 通解为 ycC⋅(−a)t2.一阶常系数线性非齐次差分方程 yt1aytf(t) 通解为 ytyc(t)yt∗.其中 yt∗ 是非齐次差分方程的特解.(1) f(t)Pm(t)1) 若 a≠−1,令 yt∗Qm(t);2) 若 a−1,令 yt∗tQm(t).(2) f(t)dt⋅Pm(t), (d≠0)1) 若 ad≠0,令 yt∗dt⋅Qm(t);2) 若 ad0,令 yt∗tdt⋅Qm(t). \begin{aligned} 1. \text{一阶常系数线性齐次差分方程} \ y_{t1} a y_t 0 \ \text{通解为} \ y_c C \cdot (-a)^t \\ \\ 2. \text{一阶常系数线性非齐次差分方程} \ y_{t1} a y_t f(t) \ \text{通解为} \ y_t y_c(t) y_t^*. \text{其中} \ y_t^* \ \text{是非} \\ \text{齐次差分方程的特解.} \\ \\ \quad (1) \ f(t) P_m(t) \\ \quad \quad 1) \ \text{若} \ a \neq -1, \text{令} \ y_t^* Q_m(t); \\ \quad \quad 2) \ \text{若} \ a -1, \text{令} \ y_t^* t Q_m(t). \\ \\ \quad (2) \ f(t) d^t \cdot P_m(t), \ (d \neq 0) \\ \quad \quad 1) \ \text{若} \ a d \neq 0, \text{令} \ y_t^* d^t \cdot Q_m(t); \\ \quad \quad 2) \ \text{若} \ a d 0, \text{令} \ y_t^* t d^t \cdot Q_m(t). \end{aligned}​1.一阶常系数线性齐次差分方程yt1​ayt​0通解为yc​C⋅(−a)t2.一阶常系数线性非齐次差分方程yt1​ayt​f(t)通解为yt​yc​(t)yt∗​.其中yt∗​是非齐次差分方程的特解.(1)f(t)Pm​(t)1)若a−1,令yt∗​Qm​(t);2)若a−1,令yt∗​tQm​(t).(2)f(t)dt⋅Pm​(t),(d0)1)若ad0,令yt∗​dt⋅Qm​(t);2)若ad0,令yt∗​tdt⋅Qm​(t).​方程的求解解原式化为 f(xΔx)−f(x)−2xf(x)Δxo(Δx)得 lim⁡Δx→0f(xΔx)−f(x)Δx−2xf(x)lim⁡Δx→0o(Δx)Δx0f′(x)−2xf(x)0,法1 f(x)C⋅e∫2xdxC⋅ex2, f(0)2, C2 ⟹ f(1)2e法2 e−x2f′(x)e−x2(−2x)f(x)0(e−x2f(x))′0 ⟹ e−x2f(x)Cf(x)Cex2, f(0)2, C2 ⟹ f(1)2e. \begin{aligned} \text{解原式化为} \ f(x\Delta x)-f(x)-2xf(x)\Delta x o(\Delta x) \\ \text{得} \ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x\Delta x)-f(x)}{\Delta x} - 2xf(x) \lim_{\Delta x \to 0} \frac{o(\Delta x)}{\Delta x} 0 \\ \\ \quad f(x)-2xf(x)0, \\ \text{法1} \ f(x)C \cdot e^{\int 2x dx}C \cdot e^{x^2}, \ f(0)2, \ C2 \implies f(1)2e \\ \\ \text{法2} \ e^{-x^2}f(x)e^{-x^2}(-2x)f(x)0 \\ \quad \left( e^{-x^2}f(x) \right)0 \implies e^{-x^2}f(x)C \\ \quad f(x)Ce^{x^2}, \ f(0)2, \ C2 \implies f(1)2e. \end{aligned}​解原式化为f(xΔx)−f(x)−2xf(x)Δxo(Δx)得Δx→0lim​Δxf(xΔx)−f(x)​−2xf(x)Δx→0lim​Δxo(Δx)​0f′(x)−2xf(x)0,法1f(x)C⋅e∫2xdxC⋅ex2,f(0)2,C2⟹f(1)2e法2e−x2f′(x)e−x2(−2x)f(x)0(e−x2f(x))′0⟹e−x2f(x)Cf(x)Cex2,f(0)2,C2⟹f(1)2e.​【小结】看到有 o(Δx)且有 Δx→0考虑两侧同除 Δx 消去 o(Δx)。 \text{【小结】看到有} \ o(\Delta x)\text{且有} \ \Delta x \to 0\text{考虑两侧同除} \ \Delta x \ \text{消去} \ o(\Delta x)。【小结】看到有o(Δx)且有Δx→0考虑两侧同除Δx消去o(Δx)。y′yx,exy′exyxex,(exy)′xex,exy(x−1)exC,y(x−1)Ce−x, C∈R \begin{aligned} y y x, \\ e^x y e^x y x e^x, \\ \left( e^x y \right) x e^x, \\ e^x y (x-1)e^x C, \\ y (x-1) C e^{-x}, \ C \in \mathbb{R} \end{aligned}​y′yx,exy′exyxex,(exy)′xex,exy(x−1)exC,y(x−1)Ce−x,C∈R​解y(x)e−x(∫exf(x)dxC)e−x(∫0xetf(t)dtC)y(xT)e−(xT)(∫0xTetf(t)dtC)ut−Te−(xT)(∫−TxeuTf(uT)d(uT)C)e−(xT)(eT∫−Txeuf(u)duC)e−x(∫0xeuf(u)du∫−T0euf(u)du)Ce−(xT)y(xT)−y(x)e−x∫−T0euf(u)duCe−(xT)−Ce−x0即当 C∫−T0euf(u)du1−e−T 时y(x)的周期为T. C是唯一的.故方程存在唯一的以周期为T的解. \begin{aligned} \text{解} y(x) e^{-x}\left( \int e^x f(x)dx C \right) e^{-x}\left( \int_0^x e^t f(t)dt C \right) \\ \\ y(xT) e^{-(xT)}\left( \int_0^{xT} e^t f(t)dt C \right) \xlongequal{ut-T} e^{-(xT)}\left( \int_{-T}^x e^{uT} f(uT)d(uT) C \right) \\ e^{-(xT)}\left( e^T \int_{-T}^x e^u f(u)du C \right) e^{-x}\left( \int_0^x e^u f(u)du \int_{-T}^0 e^u f(u)du \right) C e^{-(xT)} \\ \\ y(xT) - y(x) e^{-x}\int_{-T}^0 e^u f(u)du C e^{-(xT)} - C e^{-x} 0 \\ \\ \text{即当} \ C \frac{\int_{-T}^0 e^u f(u)du}{1 - e^{-T}} \ \text{时} y(x) \text{的周期为} T. \ C \text{是唯一的.} \\ \\ \text{故方程存在唯一的以周期为} T \text{的解.} \end{aligned}​解y(x)e−x(∫exf(x)dxC)e−x(∫0x​etf(t)dtC)y(xT)e−(xT)(∫0xT​etf(t)dtC)ut−Te−(xT)(∫−Tx​euTf(uT)d(uT)C)e−(xT)(eT∫−Tx​euf(u)duC)e−x(∫0x​euf(u)du∫−T0​euf(u)du)Ce−(xT)y(xT)−y(x)e−x∫−T0​euf(u)duCe−(xT)−Ce−x0即当C1−e−T∫−T0​euf(u)du​时y(x)的周期为T.C是唯一的.故方程存在唯一的以周期为T的解.​解1. 特征方程为 λ22λ10λ1λ2−1通解为 y(C1C2x)e−x.由 y(0)0 ⟹ C10 y′(0)1 ⟹ C21故 yxe−x.计算积分 ∫0∞xe−xdx1. \begin{aligned} \text{解} \\ \text{1. 特征方程为} \ \lambda^2 2\lambda 1 0\lambda_1 \lambda_2 -1\text{通解为} \ y (C_1 C_2x)e^{-x}. \\ \\ \text{由} \ y(0) 0 \implies C_1 0\ y(0) 1 \implies C_2 1\text{故} \ y xe^{-x}. \\ \text{计算积分} \ \int_0^{\infty} xe^{-x}dx 1. \end{aligned}​解1.特征方程为λ22λ10λ1​λ2​−1通解为y(C1​C2​x)e−x.由y(0)0⟹C1​0y′(0)1⟹C2​1故yxe−x.计算积分∫0∞​xe−xdx1.​法2 ∫0∞y(x)dx∫0∞(−y′′(x)−2y′(x))dx(−y′(x)−2y(x))∣0∞(−y′(∞)−2y(∞))−(−y′(0)−2y(0))0−(−1−2⋅0)1 \begin{aligned} \text{法2} \ \int_0^{\infty} y(x)dx \int_0^{\infty} \left( -y(x) - 2y(x) \right)dx \left. \left( -y(x) - 2y(x) \right) \right|_0^{\infty} \\ \left( -y(\infty) - 2y(\infty) \right) - \left( -y(0) - 2y(0) \right) 0 - \left( -1 - 2 \cdot 0 \right) 1 \end{aligned}​法2∫0∞​y(x)dx∫0∞​(−y′′(x)−2y′(x))dx(−y′(x)−2y(x))∣0∞​(−y′(∞)−2y(∞))−(−y′(0)−2y(0))0−(−1−2⋅0)1​【小结】如果函数 f(x) 是方程 y′′ay′by0 的解且满足 a0,b0则有lim⁡x→∞f(x)lim⁡x→∞f′(x)0。 \begin{aligned} \text{【小结】如果函数} \ f(x) \ \text{是方程} \ y ay by 0 \ \text{的解且满足} \ a0,b0\text{则有} \\ \quad \lim_{x \to \infty} f(x) \lim_{x \to \infty} f(x) 0。 \end{aligned}​【小结】如果函数f(x)是方程y′′ay′by0的解且满足a0,b0则有x→∞lim​f(x)x→∞lim​f′(x)0。​小结论证明韦达定理对于 ax2bxcx1x2−ba, x1⋅x2ca此处 x1x2−a, x1⋅x2b0故 x10, x20.因此 lim⁡x→∞y(x)0, lim⁡x→∞y′(x)0 \begin{aligned} \text{小结论证明韦达定理对于} \ ax^2bxcx_1x_2-\frac{b}{a}, \ x_1 \cdot x_2\frac{c}{a} \\ \\ \text{此处} \ x_1x_2-a, \ x_1 \cdot x_2b0\text{故} \ x_10, \ x_20. \\ \\ \text{因此} \ \lim_{x \to \infty} y(x)0, \ \lim_{x \to \infty} y(x)0 \end{aligned}​小结论证明韦达定理对于ax2bxcx1​x2​−ab​,x1​⋅x2​ac​此处x1​x2​−a,x1​⋅x2​b0故x1​0,x2​0.因此x→∞lim​y(x)0,x→∞lim​y′(x)0​解 ∫0∞f(x)dx∫0∞(−f′′(x)−af′(x))dx(−f′(x)−af(x))∣0∞0−(−f′(0)−af(0))nam. \begin{aligned} \text{解} \ \int_0^{\infty} f(x)dx \int_0^{\infty} \left( -f(x) - a f(x) \right)dx \\ \left. \left( -f(x) - a f(x) \right) \right|_0^{\infty} 0 - \left( -f(0) - a f(0) \right) \\ n a m. \end{aligned}​解∫0∞​f(x)dx∫0∞​(−f′′(x)−af′(x))dx(−f′(x)−af(x))∣0∞​0−(−f′(0)−af(0))nam.​